免费弦长计算器

弦长详解 – 公式、示例与在线计算器

这款 免费弦长计算器 提供了一种快速、可靠的计算 圆弦长 的方法，您可选择输入 弓高（弦高）、弦心距或圆心角。除弦长外，该工具还会显示其他基本圆度量：直径、周长、总面积、弧长、扇形面积、弓形面积以及弓高本身。无论您是完成几何作业的学生、设计曲面结构的工程师，还是制作拱门的DIY爱好者，这款在线 弓高计算器 都能简化计算过程。

基本定义

在圆中，弦是端点位于圆周上的直线段。与直径不同，它不一定过圆心。弦到圆心的垂直距离称为弦心距（aaa）。弦到其上方圆弧的垂直距离称为弓高或弦高（hhh）。弦所对的圆心角（α\alphaα）是过圆心连接弦两端点的两条半径所组成的角。对于形成劣弧（圆心角小于180°）的弦，半径可表示为r=a+hr = a + hr=a+h。这个关系有助于在弦心距与弓高之间进行换算。

弦长的三个主要公式

所有公式都需要半径（rrr）。已知半径后，使用相应表达式：

输入参数弦长公式弓高 hhh（弦高）c=22rh−h2c = 2\sqrt{2rh - h^{2}}c=22rh−h2​弦心距 aaac=2r2−a2c = 2\sqrt{r^{2} - a^{2}}c=2r2−a2​圆心角 α\alphaα（弧度）c=2rsin⁡ ⁣(α2)c = 2r \sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)c=2rsin(2α​)

如果圆心角以度为单位，乘以 π/180\pi/180π/180 转换为弧度。

根据其他量推导半径

当半径并非直接已知时，可通过以下圆度量计算：

已知参数半径表达式面积 AAAr=A/πr = \sqrt{A / \pi}r=A/π​周长 CCCr=C/(2π)r = C / (2\pi)r=C/(2π)直径 dddr=d/2r = d / 2r=d/2弧长 LLL 与圆心角 α\alphaα（弧度）r=L/αr = L / \alphar=L/α扇形面积 AsA_sAs​ 与圆心角 α\alphaαr=2As/αr = \sqrt{2A_s / \alpha}r=2As​/α​弓形面积 AmA_mAm​ 与圆心角 α\alphaαr=2Am/(α−sin⁡α)r = \sqrt{2A_m / (\alpha - \sin\alpha)}r=2Am​/(α−sinα)​

得到半径后，您可将其代入上述任一弦长公式。

常见角度的弦长因子速查

下表中乘数（等于 2sin⁡(α/2)2\sin(\alpha/2)2sin(α/2)）乘以半径即得弦长。

圆心角（°）弦长因子30°0.517645°0.765460°1.000090°1.4142120°1.7321180°2.0000

示例： 半径为10、圆心角90°的圆，产生的弦长为 10×1.4142=14.1410 \times 1.4142 = 14.1410×1.4142=14.14 单位。

计算示例

示例1 – 使用圆心角：

半径 = 8 m，圆心角 = 45°。将45°转换为弧度（π/4\pi/4π/4）并计算：

c=2×8×sin⁡(22.5∘)≈16×0.3827=6.12 m.c = 2 \times 8 \times \sin(22.5^\circ) \approx 16 \times 0.3827 = 6.12\ \text{m}.c=2×8×sin(22.5∘)≈16×0.3827=6.12 m.

示例2 – 使用弓高：

半径 = 10 cm，弓高 = 3 cm。

c=22×10×3−32=260−9=251≈14.28 cm.c = 2\sqrt{2 \times 10 \times 3 - 3^{2}} = 2\sqrt{60 - 9} = 2\sqrt{51} \approx 14.28\ \text{cm}.c=22×10×3−32​=260−9​=251​≈14.28 cm.

示例3 – 使用弦心距：

半径 = 6 in，弦心距 = 4 in。

c=262−42=236−16=220≈8.94 in.c = 2\sqrt{6^{2} - 4^{2}} = 2\sqrt{36 - 16} = 2\sqrt{20} \approx 8.94\ \text{in}.c=262−42​=236−16​=220​≈8.94 in.

这些示例展示了计算器如何处理各种类型的输入并给出精确弦长。

如何使用免费在线弦长计算器

输入半径 直接在指定字段中输入。若未知半径，勾选“其他参数”框并提供以下之一：面积、周长、直径、弧长、扇形面积或弓形面积。工具将自动计算半径。

提供三个触发参数之一：弦高（弓高）、弦心距或圆心角。

获取结果 – 所需字段填写完成后立即显示弦长。

自动计算的附加参数

已知半径和一个触发参数后，计算器还会显示：

直径（2r2r2r）

周长（2πr2\pi r2πr）

总面积（πr2\pi r^{2}πr2）

弧长（rαr\alpharα）

扇形面积（12r2α\tfrac{1}{2}r^{2}\alpha21​r2α）

弓形面积（12r2(α−sin⁡α)\tfrac{1}{2}r^{2}(\alpha - \sin\alpha)21​r2(α−sinα)）

弓高 – 即弦高本身。

特殊情况：直径作为弦

当弦通过圆心时，它成为直径。此时：

弦长达到最大值：2r2r2r。

弓高等于rrr。

弦心距为零。

圆心角为180°180°180°（π\piπ rad）。

该极限情况可为手工计算和计算器输出提供快速合理性检查。

为什么叫“弓高”？

弓高 一词源自拉丁语，意为“箭”。想象一把弓：紧绷的弓弦是弦，弓的弯曲部分是弧，箭垂直于中点连接弓弦与弓。这段垂直距离正是弦高。这一历史类比使概念易于理解。

选择适当的公式

完全取决于现有数据：

弓高公式 – 可测量弧在弦上方的高度时使用（例如拱形施工）。

弦心距公式 – 可获得圆心到弦的垂直距离时使用（常见于对称设计）。

圆心角公式 – 蓝图中给出角度或弦端点位于已知角度位置时使用。

三种方法等价，本 圆弦长与弓高计算器 同样容易支持它们全部。

无论您需要数学证明、建筑规划还是创意项目的精确值，这款 免费弦长计算器 都能即时提供准确结果，省去耗时的手工代数计算。